Bonjour Lucie,
Trouver un appartement en Islande, c'est un peu la croix et la bannière, même si en mai la grosse saison touristique a à peine commencé... Si tu es flexible, j'oublierais la capitale -c'est cher et difficile d'y trouver un logement. Au fin fond de la nature, tu peux essayer de contacter des guesthouses ou des fermes et voir ce qu'ils te proposent.
Bon courage!
Stef